عقلی اور غیر منطقی نمبروں کے درمیان فرق

اصطلاح "نمبر" ہمارے دماغ میں آتے ہیں جو عموما مثبت صفر اقدار صفر سے زائد ہیں. نمبروں کے دیگر طبقات میں پوری تعداد اور فرائض ، پیچیدہ اور حقیقی نمبر اور منفی عددی اقدار میں شامل ہیں. نمبروں کی درجہ بندی کو بڑھانے کے علاوہ، ہم

عقلی اور غیر معمولی نمبرز کا سامنا کرتے ہیں. ایک منطقی نمبر ایک ایسی تعداد ہے جو ایک حصہ کے طور پر لکھا جا سکتا ہے. دوسرے الفاظ میں، عقلی نمبر دو نمبروں کے تناسب کے طور پر لکھا جا سکتا ہے.

مثال کے طور پر، نمبر

6 پر غور کریں. یہ دو نمبروں کا تخمینہ کے تناسب کے طور پر لکھا جا سکتا ہے. 6 اور 1 ، تناسب کی طرف جاتا ہے 6/1 . اسی طرح، 2/3 ، جو ایک حصہ کے طور پر لکھا جاتا ہے، ایک منطقی نمبر ہے. اس طرح، ہم ایک عدد کی شکل میں لکھ سکتے ہیں، جیسا کہ ایک حصہ کے طور پر لکھا ہے، جس میں نمبر نمبر (نمبر پر اوپر) اور ڈینومٹر (سب سے نیچے کی تعداد) پوری تعداد میں ہیں. اس تعریف کی طرف سے، ہر پوری تعداد ایک منطقی نمبر بھی ہے.

دو بڑی تعداد جیسے تناسب (

129، 367، 871 ) / ( 547، 724، 863 ) عام وجہ یہ ہے کہ اعداد و شمار اور ڈومینٹر دونوں کی پوری تعداد میں ایک منطقی نمبر کا ایک مثال بنائے گا. اس کے برعکس، کسی بھی تعداد جو ایک حصہ کے شکل میں اظہار نہیں کیا جا سکتا ہے یا تناسب کو غیر منطقی طور پر قرار دیا جاتا ہے. غیر معمولی نمبر کا سب سے زیادہ عام مثال ہے

√ 2 ( 1 414213 …) . غیر منطقی نمبر کا ایک اور اہم مثال عددی مسلسل ہے π ( 3. 141592 … ) .

ایک غیر منطقی نمبر ایک ڈسکیٹ کے طور پر لکھا جا سکتا ہے، لیکن ایک حصہ کے طور پر نہیں. روزانہ کی زندگی میں غیر معمولی نمبر اکثر استعمال نہیں ہوتے ہیں، لیکن وہ نمبر لائن پر موجود ہیں. نمبر لائن پر

0 اور 1 کے درمیان غیر معمولی نمبروں کی ایک لامحدود تعداد موجود ہیں. ایک غیر منطقی تعداد میں ڈیسلیس ڈس پوائنٹ کے دائیں جانب تک غیر قطع نظر آتے ہیں.

مسلسل

π کے لئے 22/7 کے بارے میں وضاحت شدہ قیمت اصل میں صرف ایک ہے π >. تعریف کی طرف سے، اس کے ریڈیو کو دو بار تقسیم کیا جزو کی فریم π کی قیمت ہے. یہ π کے بہت سے اقدار کی طرف جاتا ہے، بشمول، لیکن محدود نہیں، 333/106، 355/113 اور اسی طرح پر 1. مربع نمبروں کے صرف مربع جڑیں؛ میں. ای. کامل چوکوں

کی مربع جڑیں عقلی ہیں.

√1

= 1

(منطقی) √2 (غیر منطقی)

√3 (غیر منطقی)

√4 < = 2 (منطقی)

√5، √6، √7، √8 (غیر منطقی) √ 9

= 3 (منطقی) اور اسی طرح.

اس کے علاوہ، ہم یہ نوٹ کرتے ہیں کہ صرف 999 9 کی جڑیں ن

طاقتیں استدلال ہیں. اس طرح، 6th 64 جڑ عقیدہ ہے، کیونکہ 64 6th طاقت ہے، یعنی 6th 2 کی طاقت. لیکن 6th 63 جڑ غیر منطقی ہے. 63 ایک بہترین 6 ویں طاقت نہیں ہے.

غیر ضروری طور پر، غیر منطقوں کی ڈسمین نمائندگی تصویر میں آتی ہے اور کچھ دلچسپ نتائج پائے جاتے ہیں. جب ہم ایک بار پھر عقلی نمبر کو ایک بار پھر بیان کرتے ہیں تو پھر یا تو ڈس کلیمر

عین مطابق

(جیسا کہ

1/5 = 0) ہو گا. 20) یا یہ انیکسک (جیسا کہ، 1/3 ≈ 0 3333 ) ہو گا. کسی بھی صورت میں، ہندسوں کا ایک ممکنہ نمونہ ہوگا. نوٹ کریں کہ جب غیر معمولی نمبر ایک بارش کے طور پر بیان کیا جاتا ہے، تو واضح طور پر یہ غیر مستحکم ہو جائے گا، کیونکہ دوسری صورت میں، نمبر منطقی ہو گی. اس کے علاوہ، ہندسوں کا ممکنہ نمونہ نہیں ہوگا. مثال کے طور پر، √2 ≈ 1. 4142135623730950488016887242097 اب عقلی نمبروں کے ساتھ، ہم کبھی کبھی 1/11 = 0. 0909090

کا سامنا کرتے ہیں.

دونوں برابر نشان ( =) اور تین نقطوں (

ellipsis ) کے استعمال کا مطلب یہ ہے کہ اگرچہ 1/11 بالکل واضح نہیں ہوسکتا ہے. ایک بیزاری کے طور پر، ہم اب بھی اس کے اندازے سے زیادہ سے زیادہ ڈیشین ہندسوں کے ساتھ تقریبا 1/11

کے قریب ہونے کی اجازت دی جا سکتی ہیں. اس طرح، 1/11 کی ڈیشلی شکل غیر منقول ہے. اسی ٹوکن کی طرف سے، ¼ کی ڈسکی شکل جو 0. 25 ہے، درست ہے. غیر منطقی تعداد کے لئے ڈسکی شکل پر آتے ہیں، وہ ہمیشہ غیر فعال ہیں. √ 2

مثال کے ساتھ جاری رہتا ہے، جب ہم √2 = 1. 41421356237 … (ellipsis کے استعمال پر غور کریں) لکھتے ہیں، تو یہ فوری طور پر یہ ہے کہ کے لئے کوئی بسم نہیں > √2 درست ہو جائے گا. اس کے علاوہ، ہندسوں کی پیش گوئی کا اندازہ نہیں ہوگا. پھر عددی طریقوں سے تصورات کا استعمال کرتے ہوئے، ہم منطقانہ طور پر تقریبا بیس سے زیادہ ہندسوں کے لئے تقریبا اس طرح تک کہ ہم قریب ہیں √2

کے قریب تخمینہ کر سکتے ہیں. منطقی اور غیر منطقی نمبروں پر کسی بھی نوٹ کے بغیر لازمی ثبوت کے بغیر ختم نہیں ہوسکتا ہے کیوں کہ √2 غیر منطقی ہے. ایسا کرنے میں، ہم نے ثبوت کی طرف سے رادی کی کلاسیکی مثال کو بھی مستحکم کیا ہے. فرض کریں √2 عقلی ہے. یہ ہمیں اس کی نمائندگی کرتی ہے کہ اس کے دو عدد افراد کا تناسب، پی اور ق کا کہنا ہے. √2 = p / q

یہ کہنا ضروری نہیں ہے کہ پی اور

ق

کوئی عام عوامل نہیں ہیں، کیونکہ اگر کوئی عام عوامل ہو تو ہم منسوخ ہوجائیں گے. ان کو پوائنٹر اور ڈومینٹر سے باہر. ہم آہنگی کے دونوں اطراف سے گزرتے ہیں، ہم ختم ہو جاتے ہیں

2 = p 2

/ q

2 یہ آسانی سے لکھا جا سکتا ہے، p 2 = 2q > 2

آخری مساوات سے پتہ چلتا ہے کہ

پی

2 بھی ہے. یہ ممکن ہے کہ پی خود ہی بھی ہے. اس کا مطلب یہ ہے کہ

پی

2 تقسیم کیا جاتا ہے 4 . لہذا،

ق 2 اور اس کے نتیجے میں ق بھی ہونا ضروری ہے.تو پی اور ق دونوں ہیں جنہیں ہمارا ابتدائی مفہوم کا تضاد ہے کہ ان کے پاس کوئی عام عوامل نہیں ہیں. اس طرح، √2 عقلمند نہیں ہوسکتا. Q. E. D.